Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 4ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μικροί)

  4ο ΤΕΣΤ  

ΘΕΜΑ 1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι  τέτοιοι ώστε 

ΘΕΜΑ 2

Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί  είναι τέτοιοι ώστε

Να δείξετε ότι

 

ΘΕΜΑ 3

Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα  τους αριθμούς  χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.

Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:

κάθε φορά επέλεγε ένα  τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.

Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα  ήταν ίσοι με τον ακέραιο 

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του 

ΘΕΜΑ 4

Οι κύκλοι  και  τέμνονται στα σημεία  και  Η εφαπτομένη του  στο  τέμνει τον  στο  και η εφαπτομένη του 

στο  τέμνει τον  στο  Έστω  σημείο τέτοιο ώστε το  να είναι το μέσο του 

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο  είναι εγγράψιμο.

 Επιμέλεια: Αθανάσιος Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica