Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 16ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  και  θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι

α) αν  τότε 

β) αν  τότε 

Ισχύουν τα α), β) αν  πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);

ΘΕΜΑ 2ο

Σε μια τάξη φοιτούν  μαθητές. Διαπιστώθηκε ότι για κάθε τριάδα μαθητών της τάξης ισχύουν τα εξής:υπάρχουν δύο μαθητές που έχουν γράψει μαζί εργασία υπάρχουν δύο μαθητές που δεν έχουν γράψει μαζί εργασία. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .

ΘΕΜΑ 3ο

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους  για τους οποίους ο αριθμός  είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΘΕΜΑ 4ο

Θεωρούμε  οξυγώνιο τρίγωνο και έστω  το ίχνος του ύψους από την κορυφή  Υποθέτουμε ότι  Έστω  και  τα μέσα των πλευρών  και  αντίστοιχα, και  σημείο του επιπέδου του τριγώνου  τέτοιο ώστε  και  όπου τα σημεία  και  βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα που ορίζει η 

Να αποδείξετε ότι 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica