Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 28ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Ένας καλαθοσφαιριστής έχει ποσοστό ευστοχίας στις ελεύθερες βολές μικρότερο του .

Λίγο καιρό αργότερα το ποσοστό του στις ελεύθερες βολές βελτιώθηκε και έγινε μεγαλύτερο από 

Δείξτε ότι κάποια χρονική στιγμή το ποσοστό ευστοχίας του στις ελεύθερες βολές ήταν ακριβώς .

ΘΕΜΑ 2ο

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων  τέτοια ώστε

  

ΘΕΜΑ 3ο

Να λυθεί στο  το σύστημα

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα κύκλο , θεωρούμε, με αυτή τη σειρά, τα σημεία  έτσι ώστε  και οι ευθείες  να συντρέχουν. Έστω  το ίχνος της κάθετης από το  στην  και  το ίχνος της κάθετης από το  στην . Να αποδείξετε ότι .

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica