Ανισότητα επιλογής

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x, y, z$ που ικανοποιούν τις ισότητες

$xyz+xy+yz+zx = x+y+z+1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

\[ \frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}} + \sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}} \right) \le \left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{5/8}.\]

USA Team Selection Test 2012