Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [77]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f : [0, 1] → R$, για την οποία ισχύει 

$ \int_0^1 x(1 − x)^2 f(x) dx = 0.$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $α ∈ (0, 1)$ τέτοιο ώστε 

$ \int_0^α x^2 f(x)dx = α \int_0^α xf(x) dx.$

Florin Stănescu, Găes,ti, România