Το Άθροισμα των Ψηφίων του $2^n$ και η Συμπεριφορά του

Έστω $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του $2^n$ (στη βάση 10). Η ακολουθία των τιμών του $S(n)$ αυξάνεται και μειώνεται με ενδιαφέροντες τρόπους. 

Για παράδειγμα:

• $2^0=1 → S(0)=1$,
• $2^1=2 → S(1)=2$,
• $2^2=4 → S(2)=4$,
• $2^3=8 → S(3)=8$,
• $2^4=16 → S(4)=1+6=7$,
• $2^5=32 → S(5)=3+2=5$,
• $2^6=64 → S(6)=6+4=10$, και ούτω καθεξής.

Είστε σίγουροι ότι το $S(n)$ τείνει στο άπειρο καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο;