Πρόβλημα
Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους το τετράγωνό τους λήγει με τα ίδια τρία ψηφία.
Λύση
Θέλουμε να βρούμε όλους τους τριψήφιους $n$ για τους οποίους
$1000|n 2 − n$.
.jpg)
Ισοδύναμα θέλουμε
$8|n(n − 1)$ και $125|n(n − 1)$.
Επειδή οι $n − 1, n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε αυτό είναι ισοδύναμο με
Έχουμε λοιπόν $4$ περιπτώσεις:
• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 0$ mod $125$. Τότε $n ≡ 0$ mod $1000$ που απορρίπτεται. (Πρέπει $n$ τριψήφιος.)
• $n ≡ 1$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 1$ mod $1000$ που απορρίπτεται.
• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 376$ mod $1000$ που δίνει $n = 376$.
• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 625$ mod $1000$ που δίνει $n = 625$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου