Το άθροισμα των τετραγώνων των πρώτων $24$ φυσικών αριθμών: \[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 24^2 \] ισούται με \(\mathbf{το\ τετράγωνο\ του\ 70}\), δηλαδή: \[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 24^2 = 70^2 \] Αυτή είναι η μόνη περίπτωση στην οποία το άθροισμα των τετραγώνων των πρώτων $k$ φυσικών αριθμών είναι επίσης τέλειο τετράγωνο !
Απόδειξη
Έχουμε \[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] οπότε
\[ \sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24 \cdot 25 \cdot 49}{6} = 4900 =70^2.\]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου