Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [94]

 Του Κώστα Ντούλα 

Δίνεται συνάρτηση $f$ με 

$f(x) = \ln^2 x - \ln(ax)$, $x > 0,$ $a > 0$ 

ώστε 

$x^5 \geq 5a(x-1) + 1$ 

για κάθε $x \geq 0$.

α) Να δείξετε ότι $a = 1$. 

(4 μονάδες)

β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της $f$. 

(6 μονάδες)

γ) i) Να δείξετε ότι υπάρχουν θετικοί αριθμοί $x_1$, $x_2$ με $x_1 < x_2$ ώστε 

$f(x_1) = f(x_2) = -\dfrac{\sqrt{e}}{7}$. 

(3 μονάδες)

ii) Να βρείτε το όριο 

$\lim_{x \to \sqrt{e}} \dfrac{1 - x_1}{4f(x) + 1}$. 

(5 μονάδες) 

δ) Να δείξετε ότι το διάγραμμα της $f$ έχει με την παραβολή $y = (x - 1)^2$ μοναδικό κοινό σημείο $Σ(1,0)$ και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι εφαπτομένες της $C_f$ και της παραβολής στο σημείο $Σ$, με τον άξονα $y'y$. 

(7 μονάδες)