Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο με διάφορους τρόπους. Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους είναι το άπειρο γινόμενο του Euler: \[ \ln(2) = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \right) \]

Ένα άλλο άπειρο γινόμενο για τον φυσικό λογάριθμο, που ισχύει για \( 0 < x < 2 \), είναι: \[ \ln(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} \right) \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1} \] Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Weierstrass, έχουμε: \[ \ln(x) = (x-1) \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{x-1}{n} \right) e^{-(x-1)/n} \] Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τη βαθιά σχέση του φυσικού λογαρίθμου με τη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική ανάλυση.