EisatoponAI: Πώς να Υπολογίσουμε το Εμβαδό ενός Τετραπλεύρου: Μέθοδος Shoelace

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τετραπλεύρου όταν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του; Υπάρχει μια κομψή μέθοδος που βασίζεται σε πίνακες και γεωμετρικούς υπολογισμούς!

Μια Έξυπνη Προσέγγιση

Αν οι κορυφές του τετραπλεύρου είναι οι:

$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$

τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της διαίρεσης του τετραπλεύρου σε δύο τρίγωνα.

Για παράδειγμα, το χωρίζουμε στα τρίγωνα:

$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$

και

$(x_1, y_1), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$.

Στη συνέχεια, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό κάθε τριγώνου χωριστά και να τα αθροίσουμε.

Παράδειγμα Υπολογισμού

Ας δούμε μια συγκεκριμένη περίπτωση: Έστω ότι οι κορυφές είναι:

$(x_1, y_1) = (0,0), \quad (x_2, y_2) = (1,0)$,

$(x_3, y_3) = (1,1), \quad (x_4, y_4) = (0,1)$.

Το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ένα τετράγωνο με πλευρά $1$, άρα το εμβαδό του είναι $1$.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Shoelace (ή τη φόρμουλα του τραπεζοειδούς), η οποία βασίζεται στις συντεταγμένες των κορυφών και υπολογίζει το εμβαδό με τον εξής τύπο:

$A = \dfrac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|.$

Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο στο παράδειγμά μας, επιβεβαιώνουμε ότι το εμβαδό είναι όντως $1$.

Συμπέρασμα

Η μέθοδος Shoelace αποτελεί έναν γρήγορο και αποδοτικό τρόπο υπολογισμού του εμβαδού οποιουδήποτε κυρτού τετραπλεύρου, όταν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Χρησιμοποιώντας αυτήν την προσέγγιση, μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα το εμβαδό και για πιο πολύπλοκα σχήματα!