Απόδειξη Ορίου Διαφορίσιμης Συνάρτησης

Έστω \( f: (0, \infty) \to \mathbb{R} \) μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε: \[ \lim_{x \to \infty} (f(x) + 2f'(x)) = 1. \]

Να αποδείξετε ότι: \[ \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0. \]