Tου Νίκου Παπαγγελή
Δίνεται η συνάρτηση \( f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) με τύπο \[f(x) = 2x^2 \cdot \ln x - x^2 + \int_{-f(a)}^{-f(\beta)} |f(x)| \, dx, \quad \text{με} \quad 0 < a < \beta,\] η οποία έχει ελάχιστη τιμή \(-1\).
Γ1.Να αποδείξετε ότι \( f(a) = f(\beta) \).
Γ2.Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \( f(x) = \sin \theta \) για τις διάφορες τιμές του \( \theta \in [0, 2\pi] \).
Γ3.Να αποδείξετε ότι \( a \in (0, 1) \) και \( \beta \in (1, \sqrt{e}) \).
Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \[\frac{f(\beta - \alpha)}{x - 1} + \frac{f(\alpha + \beta - 1)}{x - 2} = 0\]
έχει μοναδική ρίζα, η οποία ανήκει στο διάστημα \( (1, 2) \).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου