Αλγεβρικές Ταυτότητες για Συμμετρικές Εξισώσεις

Αν $a + b = k$ και $ab = p$, όπου $k, p \in \mathbb{R}, \mathbb{C}$, τότε ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: 

• $a - b = \pm \sqrt{k^2 - 4p}$ 
• $a^2 + b^2 = k^2 - 2p$
• $a^2 - b^2 = \pm k \sqrt{k^2 - 4p}$ 
• $a^3 + b^3 = k^3 - 3pk$
• $a^3 - b^3 = \pm \sqrt{k^2 - 4p}[ (k^2 - p)$
• $a^4 + b^4 = k^4 + 2p^2 - 4k^2 p$
• $a^4 - b^4 = \pm \sqrt{k^2 - 4p}[ (k^3 - 2pk)$
• $a^5 + b^5 = k^5 + 5kp^2 - 5k^3 p$
• $a^5 - b^5 = \pm \sqrt{k^2 - 4p} \left[ (k^4 - 3k^2 p + p^2) \right]$
• $a^6 + b^6 = k^6 + 9k^2 p^2 - 6pk^4 - 2p^3$
• $a^6 - b^6 = \pm \sqrt{k^2 - 4p} \left[ (k^5 + 3kp^2 - 4k^3 p) \right]$
• $a^7 + b^7 = k^7 - 7k^5 p + 14k^3 p^2 - 7kp^3$
• $a^7 - b^7 = \pm \sqrt{k^2 - 4p} \left[ (k^6 - 5k^4 p + 6k^2 p^2 - p^3) \right]$
• $a^8 + b^8 = k^8 - 8k^6 p + 20k^4 p^2 - 16k^2 p^3 + 2p^4$
• $a^8 - b^8 = \pm \sqrt{k^2 - 4p} \left[ (k^7 - 6k^5 p + 10k^3 p^2 - 4kp^3) \right]$
• $a^9 + b^9 = k^9 - 9k^7 p + 27k^5 p^2 - 30k^3 p^3 + 9k p^4$
• $a^9 - b^9 = \pm \sqrt{k^2 - 4p} \left[ (k^2 - 4p) (k^2 - p)^3 + 3p^3 (k^2 - p) \right]$
• $a^{10} + b^{10} = k^{10} - 10k^8 p + 35k^6 p^2 - 50k^4 p^3 + 25k^2 p^4 - 2p^5$