Ένθετα ριζικά με συνημίτονο

Να αποδειχθεί ότι

$$\sqrt{\,2+\sqrt{\,2+\sqrt{\,2+2\cos(8\theta)\,}\,}\,}=2\cos\theta,$$

για κατάλληλες τιμές του $\theta$.

Όλες οι Τριγωνομετρικές Ταυτότητες σε Έναν Οδηγό

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι εξισώσεις που συνδέουν μεταξύ τους τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και ισχύουν για όλες τις τιμές των γωνιών στις οποίες ορίζονται.

Στη μελέτη της τριγωνομετρίας, αποτελούν θεμέλιο για:

• απλοποίηση εκφράσεων,
• επίλυση εξισώσεων,
• γεωμετρικούς υπολογισμούς,
• φυσική, μηχανική και επιστήμη υπολογιστών.

1. Πυθαγόρειες Ταυτότητες

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$$$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$$$$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$$

Παράδειγμα:
Για $x = 30^\circ$, έχουμε:

Η Ταυτότητα του Dixon

 Για κάθε n∈N∗, ισχύει:

Ο Alfred Cardew Dixon (1865–1936) ήταν Άγγλος μαθηματικός γνωστός για αποτελέσματα στις υπεργεωμετρικές σειρές και τις ελλειπτικές συναρτήσεις. 

Δείτε εδώ την απόδειξη.

Ταυτότητα: όταν μια εξίσωση ισχύει πάντα — και όταν ένα στοιχείο δεν αλλάζει τίποτα

Η λέξη ταυτότητα έχει τουλάχιστον δύο βασικές σημασίες στα μαθηματικά:

1) Εξισώσεις (Identity as an equation)

Μια ταυτότητα είναι σχέση που ισχύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών (στο σχετικό πεδίο ορισμού). Παράδειγμα:

$(x+1)^2≡x^2+2x+1.$

Πόσες από τις παρακάτω ταυτότητες είναι σωστές;

Αν οι A,B,C είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, πόσες από τις ακόλουθες σχέσεις ισχύουν;

1. $\cos A + \cos B + \cos C= 1 + \dfrac{\sin A + \sin B - \sin C}{\cot \dfrac{C}{2}}$

2. $\cot \dfrac{A}{2} + \cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2}+\cot \dfrac{A}{2} \cdot \cot \dfrac{B}{2} \cdot \cot \dfrac{C}{2} = 1$

🔺Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο

Στον μοναδιαίο κύκλο, όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι όμοια – δηλαδή έχουν ίσες γωνίες και ανάλογα μήκη πλευρών. Αυτό σημαίνει ότι οι λόγοι μεταξύ των πλευρών παραμένουν σταθεροί, και πάνω σε αυτή την ιδιότητα βασίζεται η τριγωνομετρία.

Οι βασικές συναρτήσεις sin⁡θ, cos⁡θ και tan⁡θ ορίζονται σε τρίγωνα όπου η υποτείνουσα είναι η ακτίνα του κύκλου, δηλαδή μήκους 1.

Οπτικοποιημένη απόδειξη της ταυτότητας $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

Αποδείξεις χωρίς λόγια​.

🧠 Ποιος είπε ότι μια ταυτότητα δεν μπορεί να αποδειχθεί απλά με αντικατάσταση;

 Απόδειξη Ταυτότητας με Απλή Αντικατάσταση: Μπορεί να Γίνει;

---

Πολλοί πιστεύουν ότι για να αποδείξεις μια αλγεβρική ταυτότητα, πρέπει να κάνεις εκτενή ανάπτυξη ή επιμελή παραγοντοποίηση.

❓Αλλά τι θα γινόταν αν μπορούσες να την αποδείξεις… απλά δοκιμάζοντας μερικές τιμές του $x$;

Ας δούμε το παράδειγμα:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

---

🔍 Βήμα 1: Ορίζουμε τη διαφορά των δύο πλευρών

Θέτουμε:

A Nice Identity

 Cao Minh Quang   

Mathematical Excalibur, 2009

Αλγεβρικές Ταυτότητες για Συμμετρικές Εξισώσεις

Αν $a + b = k$ και $ab = p$, όπου $k, p \in \mathbb{R}, \mathbb{C}$, τότε ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες: 

• $a - b = \pm \sqrt{k^2 - 4p}$ 
• $a^2 + b^2 = k^2 - 2p$
• $a^2 - b^2 = \pm k \sqrt{k^2 - 4p}$ 
• $a^3 + b^3 = k^3 - 3pk$
• $a^3 - b^3 = \pm \sqrt{k^2 - 4p}[ (k^2 - p)$

Κατανόηση της ταυτότητας $α^3-β^3$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Οπτικοποίηση του διωνυμικού θεωρήματος

Αποδείξεις χωρίς λόγια​.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

$\dfrac{a^3-b^3}{α-b}=a^2+ab+b^2$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Sophomore's Dream

In mathematics, the Sophomore's dream is the pair of identities (especially the first) 

\begin{alignedat}{2}&\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\&\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{alignedat}

discovered in 1697 by Johann Bernoulli.

The numerical values of these constants are approximately 

$1.291285997... $ and $0.7834305107...,$ 

respectively.

Read more »

$(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$a^2-b^2= (a+b)(a-b)$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

The most beautiful equation of Mathematics

Αλγεβρικές Ταυτότητες