Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά

 Του Δημήτρη Σπαθάρα 

Δ1) Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x = \dfrac{1}{x}$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$ στο διάστημα $(0,1)$.

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $x_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $e^x = \dfrac{1}{x}$ του ερωτήματος Δ1 και η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ έχει τύπο

 $f(x) = e^{x_0}(x+1) - e^x - 1$.

Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_0$, το $f(x_0) = 0$.

Δ3) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις 

$g(x) = x_0 + \ln(x+1)$, $x > -1$ 

και 

$h(x) = \ln(e^x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$ 

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη.

Δ4) Έστω η συνεχής συνάρτηση $\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με $\phi(x) > f(x)$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Θεωρούμε τα σημεία $A(x, f(x))$ και $B(x, \phi(x))$, με $x \in \mathbb{R}$. Αν η απόσταση των σημείων $A$ και $B$ γίνεται ελάχιστη στο $x = x_0$, να δείξετε ότι το $x_0$ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $\phi$.