Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [18]

Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

• $\lim_{h \to 0} \dfrac{(e^{x^2+1} - 1)(f(x) - f(x+2h))}{4h^2} = xf(x)$ 

          για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 

• $f(0) = 1$

 α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$, $x \in \mathbb{R}$.

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης. 

γ) Σημείο $M(x, f(x))$, $x > 0$ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. Αν $N$ είναι το συμμετρικό του ως προς τον άξονα $y'y$ και $K$, $\Lambda$ οι προβολές των $N$, $M$ αντιστοίχως στον άξονα $x'x$, να προσδιορίσετε τις κορυφές $K$, $\Lambda$, $M$, $N$ ώστε το εμβαδόν του τετράπλευρου $K\Lambda MN$ να γίνεται μέγιστο.

δ) Να λύσετε την εξίσωση: 

$\dfrac{(x^2+1)(e^x-1)}{x^2-x+1} = x$ 

ε) Να υπολογίσετε: 

 i) Το όριο 

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(e^x+1)f(x)}{2\eta \mu x + 3}$ 

 ii) Το ολοκλήρωμα 

$\int_{-1}^1 \dfrac{dx}{(e^x+1)f(x)}$