Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [17]

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση $C_f$ μιας γνησίως αύξουσας και κυρτής συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, η οποία έχει συνεχή παράγωγο. Η γραφική παράσταση $C_f$ της $f$ έχει ασύμπτωτες τις ευθείες: $\varepsilon_1: y = 0$ στο $-\infty$ και την $\varepsilon_2: y = 2x - 3$ στο $+\infty$. Η ευθεία $\varepsilon$ εφάπτεται της $C_f$ στο σημείο $A(0, 1)$ και σχηματίζει με τον άξονα $x'x$ γωνία $45^\circ$.

α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: 

i) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \dots$ 

ii) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \dots$ 

iii) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dots$ 

iv) $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 2x] = \dots$ 

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

γ) Να υπολογίσετε τα όρια: 

i) $\lim_{x \to +\infty} f^2(x) \cdot \eta \mu \dfrac{1}{f(x)}$ 

ii) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln f(x)}{f(x) - 2x - 1}$ 

δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης $C_{f^{-1}}$ της συνάρτησης $f^{-1}$, θεωρώντας ότι η συνάρτηση $f^{-1}$ είναι συνεχής. 

ε) Να αποδείξετε ότι: 

i) Η εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $A(0, 1)$ έχει εξίσωση $y = x + 1$ και να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών $\varepsilon$ και $\varepsilon_2$. 

ii) $\int_0^5 f(x) \, dx > 18$.