Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [10]

 Toυ Νίκου Σούρμπη  

Έστω οι συναρτήσεις 

$g(x) = \dfrac{\eta \mu x}{x}$ με $A_g = (0, \dfrac{\pi}{2}]$ 

και 

$f(x) = x \cdot g(\dfrac{1}{x})$ με $A_f = [1, +\infty)$. 

α) Με τη βοήθεια της ανισότητας $\epsilon \phi x < \dfrac{\pi}{2}$ για $x \in A_g$ να δείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $A_g$ και να βρείτε το 

β) Να δείξετε ότι 

$f\left(\dfrac{\alpha}{\eta \mu \alpha}\right) < f\left(\dfrac{\beta}{\eta \mu \beta}\right)$ 

για κάθε $0 < \alpha < \beta < \dfrac{\pi}{2}$ και να βρείτε το 

$\lim_{x \to \dfrac{\pi}{6}^+} \dfrac{f(6x - \pi + 2) - \eta \mu 1}{\pi \eta \mu x - 3x}$ 

γ) Να δείξετε ότι η $y = x$ είναι ασύμπτωτη στο $+\infty$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στην 

$h(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$

τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = 1, x = \dfrac{4}{\pi}$.