Το Λήμμα του Titu

Το Λήμμα του Titu (ή Ανισότητα του Titu) είναι μια άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και δηλώνει:

Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1, a_2, \dots, a_n$ και $b_1, b_2, \dots, b_n$ με $b_i > 0$, ισχύει: \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} b_i}. \]

Η ανισότητα προκύπτει από την Cauchy-Schwarz για τις ακολουθίες $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ και $(\sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \dots, \sqrt{b_n})$: \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \sqrt{b_i} \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right). \] Διαιρώντας και στα δύο μέλη με $\sum b_i$, προκύπτει η ανισότητα του Titu. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν, υπάρχει σταθερά $k$ τέτοια ώστε: \[ \frac{a_1}{\sqrt{b_1}} = \frac{a_2}{\sqrt{b_2}} = \dots = \frac{a_n}{\sqrt{b_n}}. \]