Του Θανάση Κοπάδη
Δίνονται οι συναρτήσεις $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ και $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν:
- $f(x) = \dfrac{\alpha + \ln x}{x}$,$\alpha \in \mathbb{R}$
- $g(x) = e^x$
- $\int_0^1 (f \circ g)(x) dx = \dfrac{2e-3}{e}$
α) Να δείξετε ότι $\alpha = 1$.
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
ε) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $A \left( \dfrac{1}{e}, 0 \right)$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων την $C_f$ και την εφαπτομένη αυτή.
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$I = \int_1^e |f(x) - e^2x+e| dx$.
ζ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$1 + \ln x = \dfrac{g(\ln x)}{2}$
έχει δύο ακριβώς λύσεις οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα $\left( \dfrac{1}{e}, +\infty \right)$.
η) Αν $x_1, x_2$, με $x_1 < x_2$, είναι οι λύσεις της εξίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος και $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$ και την ευθεία $y = \dfrac{1}{2}$, τότε να αποδείξετε ότι
$(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4) = 8 \cdot E$.
θ) Να βρείτε το όριο
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5g(x) + 3 \cdot 2^x}{2g(x+1) - 2^{x+2}}$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου