Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [9]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση: \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^x}{x}, & \text{αν } x \neq 0 \\ 1, & \text{αν } x = 0 \end{cases} \] Δ1) Να δείξετε ότι 

$(x + 1)e^x < 1$ 

για κάθε $x \neq 0$. 

Δ2) Να δείξετε ότι:

α) η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται με πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ το $D_{f^{-1}} = (0, +\infty)$ και 

β) ισχύει 

$e^{f^{-1}(x)} (1 - xf(f^{-1}(x))) = 1$ 

για κάθε $x \in (0, +\infty)$. 

Δ3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$\dfrac{(x^5 + 1)f(-\alpha)}{x - 1} = \dfrac{f^{-1}(e^\alpha - 1)}{x - 2}$

όπου $\alpha > 0$, έχει μια τουλάχιστον λύση ως προς $x$ στο διάστημα $(1, 2)$. 

Δ4) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση 

$g(x) = \dfrac{\ln^2 x - e^{-x}}{x}, x > 0$. 

Να υπολογίσετε το εμβαδόν $E(\Omega)$ του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$.