Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [23]

Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: 

• $2f(x) > x + 1$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 
• $f^2(x) + (4-x)f(x) = 12 - x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 

α) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$, στο κοινό της σημείο με τον άξονα $y'y$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 

γ) Θεωρούμε ότι η ευθεία $y = \lambda x + \beta$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$ στο $-\infty$. Να αποδείξετε ότι $\lambda = 0$, $\beta = 1$ και ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $f(A) = (1, +\infty)$. 

δ) Να βρείτε το 

$\lim_{x \to 12} \dfrac{f(x) - x + 4}{x - 12}$.