Μαθηματικές Εκφράσεις χωρίς Τέλος για την Πυθαγόρεια Σταθερά √2

[1]. $1 + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{2n}(2n-1)} \binom{2n}{n}=$ 

$= 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \cdot 4} + \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} - +\cdots = \sqrt{2}$

[2]. $1 + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = $

$=1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} - \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} + -\cdots = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

[3]. $\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n-1} \right) =$

$= \left( 1 + \dfrac{1}{1} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{5} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{7} \right) \cdots = \sqrt{2}$

[4]. $\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \dfrac{1}{4(2n-1)^2} \right) =$

$= \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \dfrac{5 \cdot 7}{6 \cdot 6} \cdot \dfrac{9 \cdot 11}{10 \cdot 10} \cdot \dfrac{13 \cdot 15}{14 \cdot 14} \cdots = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$