Το Παράδοξο του Τροχού του Αριστοτέλη

Το παράδοξο του Τροχού του Αριστοτέλη βρίσκεται στο βιβλίο Προβλήματα - Μηχανικά (η γνησιότητά του είναι αμφισβητούμενη). 

Με σύγχρονους όρους μπορεί να περιγραφεί ως εξής: 

Δύο ομόκεντροι τροχοί (κύκλοι), στερεά συνδεδεμένοι μεταξύ τους με κοινό άξονα, ο ένας μικρότερης και ο άλλος μεγαλύτερης διαμέτρου όπως στο σχήμα, κυλούν χωρίς ολίσθηση σε αντίστοιχα παράλληλα επίπεδα. Ας πούμε ότι ο μεγάλος τροχός έχει διάμετρο \( R_1 \) και ο μικρότερος \( R_2 \). 

Παρατηρούμε ότι όταν ο μεγάλος τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση \( 2\pi R_1 \) (ίσες με την περιφέρεια του), δηλαδή το σημείο \( A \) εφάπτεται ξανά με το κάτω επίπεδο, τότε και ο μικρός θα έχει διατρέξει επίσης απόσταση \( 2\pi R_1 \). 

Όμως και το σημείο \( B \) αναγκαστικά την ίδια στιγμή θα εφάπτεται με το πάνω επίπεδο. 

Δηλαδή και ο μικρός τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση ίση με την περιφέρεια του. Το οποίο είναι παράδοξο διότι η περιφέρεια του μικρού τροχού είναι \( 2\pi R_2 < 2\pi R_1 \). Το σφάλμα βρίσκεται στο γεγονός ότι υποθέσαμε κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο τροχούς. 

Στην πραγματικότητα, εφόσον οι δύο τροχοί είναι στερεά συνδεδεμένοι, είναι αδύνατη ταυτόχρονη κύλιση χωρίς ολίσθηση και για τους δύο. Τούτο μπορεί να δειχθεί με διάφορους τρόπους. 

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι ο μεγαλύτερος τροχός πράγματι κυλά χωρίς ολίσθηση. Τότε η απόλυτη ταχύτητα του κέντρου των τροχών θα είναι \[ \vec{V}_K = V_0 \hat{i}, \] όπου \( V_0 > 0 \) το μέτρο της μεταφορικής ταχύτητας του τροχού. Η σχετική ταχύτητα του σημείου \( A \) ως προς το κέντρο θα είναι \[ \vec{V}_{AK} = -V_0 \cos\left( \frac{V_0 t}{R_1} \right) \hat{i} + V_0 \sin\left( \frac{V_0 t}{R_1} \right) \hat{j}. \] Η σχετική ταχύτητα του σημείου \( B \) ως προς το κέντρο θα είναι \[ \vec{V}_{BK} = -V_0 \frac{R_2}{R_1} \cos\left( \frac{V_0 t}{R_1} \right) \hat{i} + V_0 \frac{R_2}{R_1} \sin\left( \frac{V_0 t}{R_1} \right) \hat{j}. \] Επομένως, τη χρονική στιγμή \( t = 0 \), καθώς και τη χρονική στιγμή \( t = \dfrac{2\pi R_1}{V_0} \), όπου τα σημεία \( A \) και \( B \) θα εφάπτονται στα αντίστοιχα επίπεδα, η απόλυτη ταχύτητα του σημείου \( A \) θα είναι $$\vec{V}_A = \vec{V}_K + \vec{V}_{AK} = V_0 - V_0 = 0 $$ (Στιγμιαία ταχύτητα μηδέν, δηλ. πράγματι δεν υπάρχει ολίσθηση).

Η απόλυτη ταχύτητα του σημείου \( B \) θα είναι $$ \vec{V}_B = \vec{V}_K + \vec{V}_{BK} = V_0 - V_0 \frac{R_2}{R_1} \neq 0 $$(Ταχύτητα διαφορετική από το μηδέν, δηλαδή υπάρχει ολίσθηση).