Όταν το Γινόμενο Γίνεται Άθροισμα: Το Μυστικό των Προσθετικών Συναρτήσεων

Προσθετική Συνάρτηση (Additive Function)

Στη θεωρία αριθμών, μια προσθετική συνάρτηση είναι μια αριθμητική συνάρτηση $f(n)$ ορισμένη στους θετικούς ακεραίους, η οποία ικανοποιεί την ιδιότητα ότι, κάθε φορά που δύο αριθμοί $a$ και $b$ είναι σχετικά πρώτοι (δηλαδή $gcd⁡(a,b)=1)$, ισχύει: 

$f(ab)=f(a)+f(b).$ 

Υπάρχει επίσης η έννοια της απολύτως προσθετικής ή ισχυρά προσθετικής συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, η παραπάνω ιδιότητα ισχύει για όλα τα $a,b≥1$, ανεξαρτήτως του αν είναι σχετικά πρώτοι ή όχι: 

$f(ab)=f(a)+f(b)$.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι κάθε απολύτως προσθετική συνάρτηση είναι, φυσικά, και προσθετική, όμως το αντίστροφο δεν ισχύει: υπάρχουν προσθετικές συναρτήσεις που δεν είναι απολύτως προσθετικές.

Παραδείγματα

Η συνάρτηση $ω(n)$, που μετρά τον αριθμό των διαφορετικών πρώτων παραγόντων του $n$, είναι προσθετική.

Η συνάρτηση $Ω(n)$, που μετρά το συνολικό πλήθος των πρώτων παραγόντων του $n$ (μετρώντας και τις επαναλήψεις), είναι επίσης προσθετική.

Ωστόσο, καμία από τις δύο δεν είναι απολύτως προσθετική.

Αντίθετα, η λογαριθμική συνάρτηση $log⁡(n)$ (όπου $n≥1$) είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα απολύτως προσθετικής συνάρτησης, καθώς ισχύει: 

$log⁡(ab)=log⁡(a)+log⁡(b)$

για κάθε $a,b≥1$.

Παράδειγμα για καλύτερη κατανόηση

Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης $ω(n)$:

Για σχετικά πρώτους αριθμούς, όπως $2$ και $3$ έχουμε:

 $ω(2×3)=ω(6)=2$

και 

$ω(2)+ω(3)=1+1=2$

οπότε η ιδιότητα $f(ab)=f(a)+f(b)$ ικανοποιείται.

Ωστόσο, για αριθμούς που δεν είναι σχετικά πρώτοι, όπως $6$ και $9$ έχουμε:

• $6=2×3$, με $ω(6)=2$,
• $9=3^2$, με $ω(9)=1$,
• $6×9=54=2×3^3$, με $ω(54)=2$.

Εδώ παρατηρούμε ότι: 

$ω(6×9)=2$ ενώ $ω(6)+ω(9)=2+1=3.$

Άρα, η συνάρτηση $ω$ δεν είναι απολύτως προσθετική.