Διαγνωστικό Τεστ Άλγεβρας για τον Λογισμό (Ian Stewart)

1. Υπολογίστε κάθε παράσταση χωρίς τη χρήση υπολογιστή:

(α) $(-3)^4$

(β) $-3^4$

(γ) $3^{-4}$

(δ) $\dfrac{5^{23}}{5^{21}}$

(ε) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$

(στ) $16^{-3/4}$

2. Απλοποιήστε κάθε παράσταση. Γράψτε την απάντησή σας χωρίς αρνητικούς εκθέτες.

(α) $\sqrt{200} - \sqrt{32}$

(β) $(3ab^2)(4ab^2)^2$

(γ) $\left(\dfrac{3x^{3/2}y^3}{x^2y^{-1/2}}\right)^{-2}$

3. Αναπτύξτε και απλοποιήστε:

(α) $3(x + 6) + 4(2x - 5)$

(β) $(x + 3)(4x - 5)$

(γ) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

(δ) $(2x + 3)^2$ 

(ε) $(x + 2)^3$

4. Παραγοντοποιήστε κάθε παράσταση:

(α) $4x^2 - 25$

(β) $2x^2 + 5x - 12$

(γ) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$

(δ) $x^4 + 27x$

(ε) $3x^{3/2} - 9x^{1/2} + 6x^{-1/2}$

(στ) $x^3y - 4xy$ 

5. Απλοποιήστε την ρητή παράσταση:

(α) $\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - x - 2}$

(β) $\dfrac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 9} \cdot \dfrac{x + 3}{2x + 1}$

(γ) $\dfrac{x}{x^2 - 4} - \dfrac{x}{x + 2}$

(δ) $\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}$

6. Ρητοποιήστε την παράσταση και απλοποιήστε:

(α) $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5} - 2}$

(β) $\dfrac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}$

7. Γράψτε τις παραστάσεις με συμπλήρωση τετραγώνου:

(α) $x^2 + x + 1$

(β) $2x^2 - 12x + 11$

8. Να λυθούν οι εξισώσεις. (Βρείτε μόνο τις πραγματικές λύσεις.)

(α) $x + 5 = 14 - \dfrac{1}{2}x$

(β) $\dfrac{2x}{x + 1} = \dfrac{2x - 1}{x}$

(γ) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

(δ) $2x^2 + 4x + 1 = 0$

(ε) $3|x - 4| = 10$

(στ) $2x(4 - x)^{-1/2} - 3\sqrt{4 - x} = 0$

9. Να λυθούν οι ανισότητες. Γράψτε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας συμβολισμό διαστήματος.

(α) $-4 < 5 - 3x \le 17$

(β) $x^2 < 2x + 8$

(γ) $x(x - 1)(x + 2) > 0$

(δ) $|x - 4| < 3$

(ε) $\dfrac{2x - 3}{x + 1} \le 1$

10. Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι αληθείς ή ψευδείς.

(α) $(p + q)^2 = p^2 + q^2$

(β) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$

(γ) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$

(δ) $\dfrac{1 + TC}{C} = 1 + T$

(ε) $\dfrac{1}{x - y} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}$

(στ) $\dfrac{1/x}{a/x - b/x} = \dfrac{1}{a - b}$