Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [26]

 Του Βασίλη Ζαραφέτα  

Δίνεται η συνάρτηση $f$, με: 

$f(x) = \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x.$

$\Gamma_1$: Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι περιοδική με περίοδο $T = 2\pi$. 

(Μονάδες 3) 

$\Gamma_2$: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης $|f|$, στο διάστημα $[0, 2\pi]$ και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $|f(x)| = \alpha$, όπου $\alpha \in \mathbb{R}$ και $x \in [0, 2\pi]$. 

(Μονάδες 9) 

$\Gamma_3$: Να υπολογίσετε το όριο: 

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x -ln x}{f(x) + 5}.$ 

(Μονάδες 6) 

$\Gamma_4$: Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g$ με: 

$g(x) = \dfrac{f^2(x) - 1 - \eta \mu 2x}{2}$ 

είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$. 

(Μονάδες 3) 

$\Gamma_5$: Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τα σημεία: $A\left(\dfrac{3\pi}{4}, 0\right)$, $B\left(\dfrac{5\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ και $\Gamma\left(2\pi, \sqrt{2}\right)$. 

(Μονάδες 4)