Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [30]

 Toυ Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Έστω συνάρτηση $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν: 

• $f(x) - xf'(x) = \dfrac{1}{x}, \forall x > 0$
• $f(1) = 1$

και η συνάρτηση 

$g(x) = \ln(ex)$. 

α) Να δειχθεί ότι 

$f(x) = \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{2}x, \forall x > 0$ 

β) Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα. 

γ) Να μελετηθεί η $f$ ως προς κυρτότητα και να βρεθούν οι ασύμπτωτές της. 

δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x) = \lambda$ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\lambda$. Επίσης, να λυθεί η εξίσωση $f(x) = g(x)$. 

ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της $C_f$, της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $x_0 = 1$, της ευθείας $y = \dfrac{1}{2}x$ και της ευθείας $x = 2$.