Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [29]

Έστω $f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(1)=-1$ και τέτοια ώστε

 $x^2f'(x) = 2 - xf(x)$

για κάθε $x \in (0,+\infty)$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x}$, $x \in (0,+\infty)$. 

β) Να μελετήσετε τη $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$3f(x+1) < 2f(x) + f(x+3)$

για κάθε $x > e^2$. 

δ) Αν επιπλέον $F$ είναι μία αρχική της $f$, στο $(0,+\infty)$, να αποδείξετε ότι: 

i) $F\left(\dfrac{e}{x}\right) = F(x) + c$, $x \in (0,+\infty)$ 

όπου $f(x) \geq f(1)$. 

ii) $e\int_1^e \dfrac{F(x)}{x^2}dx = \int_1^e F(x)dx + ce(e-1)$.

Περιοδικό «Ευκλείδης Β'»