Φανταστική Βάση, Φανταστικός Εκθέτης, Πραγματικό Αποτέλεσμα!

Η έννοια της ύψωσης του φανταστικού αριθμού \( i \) στη δύναμη \( i \) φαίνεται παράδοξη, αλλά οδηγεί σε έναν πραγματικό αριθμό! 

Από την εξίσωση του Euler 

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 

για $x=\dfrac{\pi}{2}$ έχουμε:

$ e^{i\frac{\pi}{2}} = i $ 

Άρα έχουμε διαδοχικά: 

$ i^i = \left( e^{i\frac{\pi}{2}} \right)^i = e^{i \cdot i \cdot \frac{\pi}{2}} = e^{-\frac{\pi}{2}} $ 

$ i^i = \dfrac{1}{\sqrt{e^{\pi}}} \approx 0.20787958 $  

Δηλαδή, το \( i^i \) είναι πραγματικός και θετικός αριθμός, παρά το ότι και η βάση και ο εκθέτης είναι φανταστικοί!