Όταν οι Άρρητοι Συνεργάζονται: Πότε το Άθροισμα ή η Δύναμη Είναι Ρητός Αριθμός;

Ένας ρητός αριθμός είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών. Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για τις ανάγκες αυτής της άσκησης, μπορείτε να θεωρείτε ως άρρητοους αριθμούς τους: $√2, √3, π, e$, κ.ά.

1. Έστω ότι οι $x$ και $y$ είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε οι $x^2 + y^2$ και $xy$ να είναι ρητοί αριθμοί.

2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $(x + y)^2$ είναι ρητός, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό.

Μπορείτε να βρείτε διαφορετικούς άρρητους αριθμούς $x$ και $y$ έτσι ώστε ο αριθμός $x^y$ να είναι ρητός;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας.