Ένα ενδιαφέρον μαθηματικό "μυστικό" με τους λογαρίθμους! 🤯

Γνωρίζατε αυτήν την κομψή σχέση που συνδέει τα αθροίσματα λογαρίθμων με το παραγοντικό; 

Η ιδιότητα των λογαρίθμων λέει ότι το άθροισμα των λογαρίθμων ισούται με τον λογάριθμο του γινομένου! 

Έτσι, το άθροισμα των λογαρίθμων των αριθμών από το 1 έως το $n$: $$ \sum_{i=1}^{n} \log i $$ είναι το ίδιο με: $$ \log 1 + \log 2 + \log 3 + \dots + \log n $$ Και αυτό, με βάση την ιδιότητα $\log a + \log b = \log (a \cdot b)$, γίνεται: $$ \log (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n) $$ Που δεν είναι τίποτα άλλο από το λογάριθμο του $n!$ (n παραγοντικό)! $$ \log n! $$ Επομένως: $$ \boxed{\sum_{i=1}^{n} \log i = \log n!} $$