Μια συμμετρική ισότητα τριών μεταβλητών

Έστω $a, b, c$ πραγματικοί αριθμοί, όχι όλοι ίσοι μεταξύ τους. Αποδείξτε ότι $a + b + c = 0$, αν και μόνο αν $$a^2 + ab + b^2 = b^2 + bc + c^2 = c^2 + ca + a^2.$$