Johnson’s Theorem: Η Κρυφή Συμμετρία Τριών Κύκλων

Το Θεώρημα του Τζόνσον είναι ένα κομψό και σχετικά άγνωστο αποτέλεσμα της ευκλείδειας γεωμετρίας, που ανακαλύφθηκε το 1916 από τον Αμερικανό γεωμέτρη Ρότζερ Τζόνσον. Αν και διατυπώνεται με απλότητα, παρουσιάζει εντυπωσιακές γεωμετρικές ιδιότητες.

📐 Διατύπωση του Θεωρήματος του Τζόνσον

Αν τρεις κύκλοι ίσου ακτίνας r τέμνονται σε ένα κοινό σημείο H, τότε τα άλλα τρία σημεία τομής τους (ένα για κάθε ζεύγος κύκλων) βρίσκονται σε έναν τέταρτο κύκλο, ο οποίος έχει επίσης ακτίνα r.

Αυτό σημαίνει ότι, αν σχεδιάσουμε τρεις ίδιους κύκλους που τέμνονται στο ίδιο σημείο, τα υπόλοιπα σημεία τομής τους σχηματίζουν ένα τρίγωνο του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος έχει την ίδια ακτίνα με τους αρχικούς κύκλους.

🔍 Ιστορικό και Ονομασίες

Το θεώρημα αποδίδεται τόσο στον Ρότζερ Τζόνσον όσο και στον Ρουμάνο μαθηματικό Γκεόργκε Τσιτζέικα (Gheorghe Țițeica), γι' αυτό και αναφέρεται μερικές φορές ως Θεώρημα Τζόνσον–Τσιτζέικα ή "Πρόβλημα του νομίσματος των 5 λέι" στη Ρουμανία .

🔗 Σχετικές Γεωμετρικές Ιδιότητες

Το θεώρημα συνδέεται με διάφορες γεωμετρικές έννοιες:

• Τρίγωνο αναφοράς: Τα τρία σημεία τομής των κύκλων σχηματίζουν ένα τρίγωνο, του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος έχει την ίδια ακτίνα με τους αρχικούς κύκλους.

• Συμμετρίες και ομοιότητες: Το τρίγωνο αυτό είναι συμμετρικό και ομοιόμορφο με το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα κέντρα των αρχικών κύκλων.

• Συσχέτιση με το Πόρισμα του Πονσελέ: Το θεώρημα σχετίζεται με το πόρισμα του Πονσελέ, που αφορά την ύπαρξη πολυγώνων εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σε δύο κύκλους .