Ο Κύκλος του Bankoff: Ένας Τρίτος Αρχιμήδειος Κύκλος

Στη γεωμετρία, ο κύκλος Bankoff (γνωστός και ως τριπλός κύκλος Bankoff) είναι ένας αξιοσημείωτος Αρχιμήδειος κύκλος, δηλαδή ένας κύκλος του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν των λεγόμενων δίδυμων κύκλων του Αρχιμήδη. 

Αυτός ο ιδιαίτερος κύκλος μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά από έναν άρβηλο, δηλαδή μια χαρακτηριστική διάταξη από τρία ημικύκλια. Ο κύκλος ανακαλύφθηκε από τον Leon Bankoff το 1974.

---

➤ Τι είναι ο άρβηλος;

Ο άρβηλος είναι μια κλασική κατασκευή που εμφανίζεται στα έργα του Αρχιμήδη. Προκύπτει όταν τοποθετηθούν τρία ημικύκλια πάνω σε μια ευθεία βάση:

• Ένα μεγάλο ημικύκλιο με διάμετρο $AC$,

• και δύο μικρότερα ημικύκλια στο εσωτερικό του, με διαμέτρους $AB$ και $BC$, ώστε $AB + BC = AC$.

---

➤ Κατασκευή του Κύκλου Bankoff

1. Δημιουργία του άρβηλου με τα τρία ημικύκλια.

2. Κατασκευή κύκλου $C_1$ που είναι εφαπτόμενος και στα τρία ημικύκλια (ένα κλασικό πρόβλημα του Απολλώνιου).

3. Ορισμός του κύκλου Bankoff $C_2$:

   • Διέρχεται από τρία συγκεκριμένα σημεία:

     • Τα δύο σημεία επαφής του $C_1$ με τα δύο μικρότερα ημικύκλια.

     • Το σημείο όπου τα δύο μικρότερα ημικύκλια εφάπτονται μεταξύ τους.

Ο κύκλος αυτός $C_2$, είναι ο κύκλος Bankoff και έχει την ιδιότητα να είναι ισοεμβαδικός με τους δίδυμους κύκλους του Αρχιμήδη!

---

➤ Ακτίνα του Κύκλου Bankoff

Αν θέσουμε:

• $r = \frac{AB}{AC}$, το ποσοστό της διάμετρου του μικρότερου ημικυκλίου ως προς τη συνολική διάμετρο,
  τότε η ακτίνα $R$ του κύκλου Bankoff δίνεται από τον τύπο:

$$R=\frac{1}{2}r(1-r)$$

Πρόκειται για έναν εξαιρετικά κομψό τύπο, που εκφράζει την γεωμετρική ισορροπία ανάμεσα στις διαστάσεις του άρβηλου και του κύκλου Bankoff.

---

➤ Ιστορικό Σημείωμα

Η κατασκευή αυτή αποδόθηκε για πρώτη φορά στον Leon Bankoff το 1974 και συνδυάζει με μαεστρία την κλασική ελληνική γεωμετρία με την αισθητική της μαθηματικής ανακάλυψης.