Κατανοώντας το Θεώρημα του Γκέντελ: Γιατί Δεν Αρκούν οι Αποδείξεις

 Με απλά λόγια, το πρώτο θεώρημα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ λέει το εξής:

Σε κάθε αρκετά ισχυρό και συνεπές μαθηματικό σύστημα (όπως η αριθμητική), υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα σε αυτό το σύστημα.

Δηλαδή:

• Υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις που είναι σωστές, αλλά δεν υπάρχει τρόπος να αποδειχτούν χρησιμοποιώντας μόνο τους κανόνες του ίδιου του συστήματος.

• Αυτό σημαίνει ότι κανένα τέτοιο σύστημα δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα πλήρες και συνεπές.

---

Με μια μεταφορά:

Φαντάσου ότι έχεις ένα πολύ έξυπνο λεξικό που εξηγεί όλες τις λέξεις στα ελληνικά, χρησιμοποιώντας μόνο ελληνικές λέξεις. Ο Γκέντελ έδειξε ότι θα υπάρχουν πάντα λέξεις που δεν μπορεί να εξηγήσει με τους δικούς του όρους, όσο καλό κι αν είναι το λεξικό.

---

Επίσης:

Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας λέει ότι ένα τέτοιο σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη δική του συνέπεια — δηλαδή δεν μπορεί να αποδείξει μόνο του ότι δεν οδηγεί σε αντιφάσεις.