Καταστροφική Πλοήγηση σε Δικτυωτές Δομές: Το Πρόβλημα του Λεμίνγκ στη Νορβηγική Σκακιέρα

Σε μια από τις πιο γοητευτικές γωνιές της μαθηματικής φαντασίας συναντάμε προβλήματα που, ενώ μοιάζουν απλά και αθώα, κρύβουν απροσδόκητο βάθος και μυστήριο. Ένα τέτοιο πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο A Mathematical Mosaic του Ravi Vakil.

Το πρόβλημα διαδόθηκε μέσω του περιοδικού American Mathematical Monthly χωρίς να δοθεί λύση — και η διατύπωσή του είναι η εξής:

📐 Η Σκακιέρα του Θανάτου:

Σε μια μακρινή κορυφή της Νορβηγίας, βρίσκεται μια γιγάντια σκακιέρα διαστάσεων 1000 × 1000, η οποία ακουμπά από όλες τις πλευρές σε απόκρημνους γκρεμούς.

Κάθε τετράγωνο της σκακιέρας φέρει ένα βέλος που δείχνει προς μία από τις 8 κατευθύνσεις του ανέμου (Β, ΒΑ, Α, ΝΑ, Ν, ΝΔ, Δ, ΒΔ), και πάντα προς κάποιο από τα γειτονικά του τετράγωνα. Τα βέλη είναι "ομαλά", δηλαδή σε γειτονικά τετράγωνα (που μοιράζονται πλευρά) οι κατευθύνσεις τους διαφέρουν το πολύ κατά 45°.

Ένα λεμίνγκ τοποθετείται τυχαία σε κάποιο τετράγωνο και αρχίζει να κινείται, ακολουθώντας πιστά την κατεύθυνση του βέλους στο τετράγωνο όπου βρίσκεται.

🧠 Το Ερώτημα:

Μπορεί το λεμίνγκ να παγιδευτεί σε άπειρο κύκλο, ή θα αναγκαστεί κάποια στιγμή να πέσει από τη σκακιέρα;

Σημείωση:

Τι είναι το λεμίνγκ;

Το λεμίνγκ είναι ένα μικρό τρωκτικό που ζει σε ψυχρές περιοχές, όπως η Αρκτική και η Νορβηγία.

Είναι γνωστό στη λαϊκή κουλτούρα από τον μύθο ότι, όταν μεταναστεύει, μπορεί να πέσει μαζικά από γκρεμούς — κάτι που όμως δεν ισχύει στην πραγματικότητα. Στο πρόβλημα αυτό, το λεμίνγκ συμβολίζει έναν «αυτόματο» περιπατητή που ακολουθεί πιστά τις οδηγίες (τα βέλη) χωρίς να αλλάζει πορεία.