ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ – Ο Συλλογισμός του για την Απειρία των Πρώτων Αριθμών

"Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι απ’ όσους μπορείς να μετρήσεις."

— Ευκλείδης, Στοιχεία (Πρόταση ΙΧ.20)

Η απόδειξη του Ευκλείδη είναι απλή, κομψή και παντοτινά επίκαιρη. Πάμε να τη δούμε βήμα προς βήμα:

---

🔢 Βήμα 1: Υποθέτουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι πεπερασμένοι

Έστω ότι έχουμε μια λίστα με όλους τους πρώτους αριθμούς:

A, B, C

(ή γενικότερα:

$p_1, p_2, \dots, p_n$

➕ Βήμα 2: Κατασκευάζουμε έναν νέο αριθμό

Ορίζουμε:

$$D=A\cdot B\cdot C+1\text{(}\acute{\text{η}}\text{ γενικ}\acute{\text{α}}D=p_1\cdot p_2\cdot \cdots \cdot p_n+1)$$

---

❓ Είναι ο αριθμός D πρώτος;

• Αν ο D είναι πρώτος, τότε προφανώς δεν περιλαμβάνεται στην αρχική λίστα. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος αριθμός πέρα από αυτούς που θεωρήσαμε.

• Αν ο D δεν είναι πρώτος, τότε έχει κάποιον πρώτο διαιρέτη. Αλλά κανένας από τους αρχικούς πρώτους αριθμούς δεν διαιρεί τον D:

  $$D<mrow\; style="text-align:\; justify;"><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>A=1,D<mrow\; style="text-align:\; justify;"><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>B=1,D<mrow\; style="text-align:\; justify;"><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>C=1$$

  Επομένως, ο D έχει έναν νέο πρώτο διαιρέτη, που δεν ήταν στη λίστα.

---

✅ Συμπέρασμα

Ό,τι κι αν συμβεί, προκύπτει τουλάχιστον ένας νέος πρώτος αριθμός. Άρα δεν μπορεί να υπάρχει πεπερασμένο πλήθος πρώτων.

$$\boxed{{\displaystyle \text{Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.}}}$$

Η ομορφιά της απόδειξης του Ευκλείδη είναι ότι δεν βασίζεται σε καμία σύνθετη θεωρία. Χρησιμοποιεί μόνο τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση — και όμως καταλήγει σε ένα από τα πιο βαθιά και θεμελιώδη αποτελέσματα της Αριθμητικής