Το Πρόβλημα της Βασιλείας: Μια Αναμέτρηση με το Άπειρο

Το Πρόβλημα της Βασιλείας είναι ένα ιστορικό πρόβλημα της μαθηματικής ανάλυσης, με βαθιές διασυνδέσεις με τη θεωρία αριθμών. Το πρόβλημα ζητά το ακριβές άθροισμα της άπειρης σειράς των αντιστρόφων τετραγώνων των φυσικών αριθμών:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$$

Το πρόβλημα αυτό τέθηκε αρχικά από τον Pietro Mengoli το 1650, αλλά αντιστάθηκε στις προσπάθειες ακόμα και των κορυφαίων μαθηματικών της εποχής, μεταξύ των οποίων και οι Bernoulli, μέχρι να λυθεί τελικά από έναν μόλις 28χρονο Ελβετό μαθηματικό, τον Leonhard Euler, το 1734.

Η λύση του Euler παρουσιάστηκε επίσημα στις 5 Δεκεμβρίου 1735, στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Το πρόβλημα πήρε το όνομά του από την πόλη Βασιλεία (Basel), πατρίδα τόσο του Euler όσο και της οικογένειας Bernoulli.

---

Η Λύση του Euler

Ο Euler βρήκε ότι το άθροισμα της σειράς είναι:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

Ένα αποτέλεσμα που προκάλεσε έκπληξη — το π, ένας αριθμός που προέρχεται από τη γεωμετρία του κύκλου, εμφανίζεται ως ακριβής τιμή ενός απλού αθροίσματος καθαρά αριθμητικής φύσης.

Η αριθμητική προσέγγιση της σειράς δίνει περίπου 1,644934…, αλλά ο Euler έδωσε την κλειστή μορφή με ακρίβεια:

$$\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.644934066848226\dots$$

Αν και τα αρχικά του επιχειρήματα βασίζονταν σε χειρισμούς που θεωρούνταν ανεπαρκώς αυστηροί για τα μαθηματικά της εποχής, αργότερα αποδείχθηκε ότι είχε απόλυτο δίκιο. Ο ίδιος έδωσε μια αυστηρότερη απόδειξη το 1741.

---

Από το Πρόβλημα της Βασιλείας στη Συνάρτηση Ζήτα

Η αναζήτηση του Euler για το άθροισμα της σειράς τον οδήγησε στην γενίκευση της έννοιας των άπειρων σειρών με τη μορφή:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\mathrm{s}}}$$

Αυτή είναι η γνωστή συνάρτηση ζήτα του Riemann, η οποία καθιερώθηκε έναν αιώνα αργότερα από τον Bernhard Riemann στην πρωτοποριακή εργασία του το 1859. 

Η ανακάλυψη του Euler για την τιμή της ​ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$​ αποτελεί ένα από τα πρώτα και πιο όμορφα αποτελέσματα που σχετίζονται με τη συνάρτηση αυτή.

---

Ένας Πιθανός Σύνδεσμος με την Πιθανοθεωρία

Η λύση στο πρόβλημα της Βασιλείας έχει απρόσμενες εφαρμογές — ακόμη και στην εκτίμηση πιθανοτήτων. Για παράδειγμα, αν πάρουμε δύο τυχαίους ακέραιους αριθμούς στο διάστημα από 1 έως 

$n$, τότε, καθώς το $n \to \infty$, η πιθανότητα να είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή να μην έχουν κοινό διαιρέτη πέραν του 1), πλησιάζει:

$$\frac{6}{{\pi }^{\mathrm{2}}}$$

Αυτό συνδέει έναν γεωμετρικό αριθμό όπως το π με την πιθανότητα δύο αριθμοί να είναι "σχετικά πρώτοι" — μια εντυπωσιακή ένδειξη της ενοποίησης διαφόρων κλάδων των μαθηματικών.

---

Εικόνα-Παρομοίωση

Μπορούμε να φανταστούμε το πρόβλημα της Βασιλείας ως εξής: Αν από το σημείο μηδέν σε έναν αριθμητικό άξονα τοποθετήσουμε άπειρες πηγές φωτός στις θέσεις 1, 2, 3, 4, ..., και η ένταση φωτός από κάθε πηγή φθίνει ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης της από το μηδέν, τότε η συνολική φωτεινότητα που φτάνει στο σημείο 0 είναι ακριβώς:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{\mathrm{6}}$$