Κατασκευή του αριθμού με Επικαλυπτόμενους Κύκλους και η Χρυσή Τομή

Αυτή η κατασκευή μπορεί να δημιουργηθεί απλά σχεδιάζοντας πέντε κυκλικά τόξα:

• Κατασκευάζουμε δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες $1$ και $2$, με κέντρο το σημείο $C$.
• Κατασκευάζουμε άλλους δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες $1$ και $2$, με κέντρο το σημείο $D$.
• Σχεδιάζουμε ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο τομής των δύο μικρών κύκλων (σημείο $A$) προς το σημείο τομής των δύο μεγάλων κύκλων (σημείο $G$).

Η αναλογία του μήκους του ευθύγραμμου τμήματος $AG$ προς το $AB$ είναι ίση με τη Χρυσή Τομή ($\Phi$): \[ \frac{AG}{AB} = \Phi \approx 1{,}618\ 0339\ 887\dots \]

Απόδειξη

Η αναλογία δίνεται από την εξίσωση: \[ \frac{AB}{AG} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15} + \sqrt{3}} \] Απλοποιώντας: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15} + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{(\sqrt{15} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{15 - 3} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{12} \] \[ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{6} = \frac{\sqrt{45} - 3}{6} = \frac{3\sqrt{5} - 3}{6} = \frac{3(\sqrt{5} - 1)}{6} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1}{\Phi} \] Άρα: \[ \frac{AG}{AB} = \Phi \]

Πηγή: Η κατασκευή αυτή αναπτύχθηκε από τον $\textbf{Kurt Hofstetter}$ το 2002 και δημοσιεύτηκε στο $\textit{Forum Geometricorum}$