🔺Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο

Στον μοναδιαίο κύκλο, όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι όμοια – δηλαδή έχουν ίσες γωνίες και ανάλογα μήκη πλευρών. Αυτό σημαίνει ότι οι λόγοι μεταξύ των πλευρών παραμένουν σταθεροί, και πάνω σε αυτή την ιδιότητα βασίζεται η τριγωνομετρία.

Οι βασικές συναρτήσεις sin⁡θ, cos⁡θ και tan⁡θ ορίζονται σε τρίγωνα όπου η υποτείνουσα είναι η ακτίνα του κύκλου, δηλαδή μήκους 1.

Ωστόσο, οι αντίστροφες συναρτήσεις – csc⁡θ, sec⁡θ και cot⁡θ – εμφανίζονται όταν αλλάζει η διάταξη του τριγώνου: η μονάδα δεν είναι πλέον η υποτείνουσα, αλλά μία από τις κάθετες πλευρές. Σε αυτή τη νέα γεωμετρία, οι λόγοι των πλευρών δίνουν τις αντίστροφες συναρτήσεις.

📐 Δύο χαρακτηριστικές ταυτότητες προκύπτουν από αυτή τη γεωμετρική προσέγγιση:

• 🔵 Το μπλε τρίγωνο δείχνει ότι:

  $$1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$$

• 🔴 Το κόκκινο τρίγωνο δείχνει ότι:

  $${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$$