📌 Γεωμετρική Απόδειξη της Ιδιότητας του Φυσικού Λογαρίθμου

Η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{1}{x}​$ είναι συμμετρική ως προς την υπερβολή xy=1, και η ιδιότητά της:

$$\int_{1/a}^{1} \frac{1}{y} \, dy = \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \, dx$$

επαληθεύεται και γεωμετρικά, μέσω της ισότητας των εμβαδών κάτω από την καμπύλη $\dfrac{1}{x}​$:

​ 

Η σχέση:

$$-\ln \left(\frac{1}{a}\right)=\ln a$$

επαναβεβαιώνει τη βασική ταυτότητα του φυσικού λογαρίθμου. Η συμμετρία αυτή αντικατοπτρίζεται στα συμμετρικά πράσινα ορθογώνια και στην ισότητα των δύο ολοκληρωμάτων.

Η εικόνα είναι ένα εξαιρετικό οπτικό εργαλείο για να κατανοηθεί το γιατί ισχύει η ιδιότητα του λογαρίθμου και πώς τα αντίστροφα όρια ολοκλήρωσης σχετίζονται μέσω της ίδιας της συμμετρίας της συνάρτησης.