Πόσα σημεία χρειάζονται για να οριστεί μία κωνική τομή;

• Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία.
• Τρία σημεία ορίζουν έναν κύκλο.
• Πόσα σημεία χρειάζονται για να ορίσουμε ένα κωνική τομή;

Πέντε!

Μα γιατί πέντε;

Για να το κατανοήσουμε, ας δούμε την γενική μορφή μιας κωνικής εξίσωσης:

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$

Αυτή η εξίσωση έχει έξι συντελεστές: A, B, C, D, E και F. Όμως, μπορούμε να διαιρέσουμε ολόκληρη την εξίσωση με τον συντελεστή A (ή οποιονδήποτε μη μηδενικό), ώστε να απαλείψουμε έναν απο αυτούς. Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση με πέντε ανεξάρτητους συντελεστές (π.χ. ορίζοντας:

$$\frac{B}{A}=p,\frac{C}{A}=q,\frac{D}{A}=r,\frac{E}{A}=s,\frac{F}{A}=t$$

η εξίσωση γίνεται:

$x^2+pxy+qy^2+rx+sy+t=0$

Για να προσδιορίσουμε πλήρως αυτούς τους πέντε αγνώστους, χρειαζόμαστε πέντε σημεία, καθένα από τα οποία να ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση.

---

🎯 Συμπέρασμα:

Μία κωνική τομή (παραβολή, έλλειψη ή υπερβολή) καθορίζεται πλήρως από πέντε σημεία που δεν βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία, και δεν είναι όλα σημεία ενός κύκλου.

Βέβαια, η επίλυση ενός συστήματος 5 εξισώσεων με 5 αγνώστους δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση — όμως είναι εφικτή με τις κατάλληλες μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας.