Τι Πραγματικά Συνιστά Μια Αληθινή Μαθηματική Απόδειξη;

Μια μαθηματική απόδειξη είναι ένα αυστηρό λογικό επιχείρημα που αποδεικνύει αναμφισβήτητα την αλήθεια μιας δεδομένης πρότασης. Μόνο όταν μια μαθηματική δήλωση έχει αποδειχθεί, μπορεί να ονομαστεί θεώρημα.

Απόψεις για την αξία της απόδειξης

Ο G. H. Hardy γράφει στο έργο του (1999, σελ. 15-16):

«Όλοι οι φυσικοί, και αρκετοί αρκετά αξιοσέβαστοι μαθηματικοί, περιφρονούν την απόδειξη. Έχω ακούσει τον καθηγητή Eddington, για παράδειγμα, να υποστηρίζει ότι η απόδειξη, όπως την κατανοούν οι καθαροί μαθηματικοί, είναι στην πραγματικότητα αρκετά αδιάφορη και ασήμαντη, και ότι κανείς που είναι πραγματικά βέβαιος ότι έχει βρει κάτι καλό δεν πρέπει να σπαταλά τον χρόνο του ψάχνοντας για απόδειξη... [Αυτή η άποψη], με την οποία είμαι βέβαιος ότι σχεδόν όλοι οι φυσικοί συμφωνούν στα βάθη της καρδιάς τους, είναι μια άποψη στην οποία ένας μαθηματικός θα έπρεπε να έχει κάποια απάντηση.»

Ο διάσημος φυσικός Richard Feynman, ενισχύοντας τη σκέψη αυτή, φέρεται να σχολίασε:

«Πολλά περισσότερα είναι γνωστά από όσα έχουν αποδειχθεί» (Derbyshire, 2004, σελ. 291).

Διαφωνίες για το τι συνιστά απόδειξη

Υπάρχει διαμάχη μεταξύ των μαθηματικών για το τι ακριβώς συνιστά αποδεκτή απόδειξη. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, του οποίου η πρώτη αποδεκτή απόδειξη βασίστηκε σε υπολογιστή και εξαντλητικό έλεγχο χιλιάδων περιπτώσεων που δεν μπορούν να επαληθευτούν «χειροκίνητα».

Πολλοί μαθηματικοί αποδέχονται τις αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή ως έγκυρες. Ωστόσο, υπάρχουν υποστηρικτές της «καθαρής» μαθηματικής προσέγγισης που διαφωνούν, καθώς θεωρούν ότι η κατανόηση και η ελεγκσιμότητα είναι εξίσου σημαντικές με την ορθότητα.

Αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστών

Με την εξέλιξη της τεχνολογίας, έχουν αναπτυχθεί πολλά συστήματα για την αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων. Ένα παράδειγμα είναι το σύστημα THεorem for all, το οποίο επιχειρεί να παρέχει μηχανική υποστήριξη για την κατασκευή αποδείξεων.

Χιούμορ και αποδείξεις

Παρά τη σοβαρότητά τους, οι αποδείξεις έχουν και τη χιουμοριστική τους πλευρά. Ο μαθηματικός David Chalmers διατηρεί μια σελίδα με παραδείγματα που σατιρίζουν ή παρωδούν τις μαθηματικές αποδείξεις, αναδεικνύοντας τον δημιουργικό χαρακτήρα και την ανθρώπινη διάσταση της μαθηματικής σκέψης.