Η Απόδειξη του Lambert για την Άρρητη Φύση του π

Το 1761, ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ παρουσίασε μια ιστορική απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι άρρητος. Η απόδειξη του βασίστηκε στην ανάλυση της τριγωνομετρικής συνάρτησης εφαπτομένης και της συνεχούς κλασματικής ανάπτυξής της.

Η βασική ιδέα της απόδειξης:

Ο Lambert απέδειξε ότι η συνάρτηση εφαπτομένης έχει μια συγκεκριμένη συνεχή κλασματική μορφή:

$$\tan (x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\ddots }}}}$$

Αυτή η ανάπτυξη ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό $x$.

Το κρίσιμο λογικό βήμα του Lambert:

• Υπέθεσε ότι $x$ είναι μη μηδενικός ρητός αριθμός.

• Απέδειξε ότι τότε το παραπάνω συνεχές κλάσμα δίνει άρητο αποτέλεσμα — δηλαδή, tan⁡(x) είναι άρητος αριθμός.

Εφαρμογή για το π:

• Είναι γνωστό ότι:

$$\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$$

• Το 1 είναι ρητός αριθμός.

• Επομένως, η υπόθεση ότι το $\frac{\pi}{4}$ είναι ρητό οδηγεί σε αντίφαση: το $\tan(x)$ πρέπει να είναι άρρητος αν $x$ είναι ρητός, αλλά εδώ είναι 1.

Συμπερασματικά:

Εφόσον $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ και το 1 είναι ρητός αριθμός, τότε το $\frac{\pi}{4}$ δεν μπορεί να είναι ρητός, άρα $\pi$ είναι άρρητος.

---

Ιστορική Σημείωση:

Η απόδειξη αυτή δημοσιεύθηκε στο έργο του:

"Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques" (Αναμνήσεις για κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητες των υπερβατικών, κυκλικών και λογαριθμικών ποσοτήτων), Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, 1763 (το έργο συντάχθηκε το 1761–1762).