Τύπος Leibniz: Η Εναλλασσόμενη Σειρά που Υπολογίζει το π

Ο τύπος του Leibniz για το $π$ είναι ένα από τα πιο διάσημα παραδείγματα εναλλασσόμενης σειράς στα μαθηματικά. Εκφράζει το  $\dfrac{π}{4}$ ως άθροισμα όρων που εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο:

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί και με μορφή αθροίσματος: \[\frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1}\]

Χαρακτηριστικά της σειράς:

• Εναλλασσόμενη: Τα πρόσημα των όρων αλλάζουν (θετικός, αρνητικός, θετικός, κ.ο.κ.)

• Αργή σύγκλιση: Η σειρά συγκλίνει με πολύ αργό ρυθμό στο  $\dfrac{π}{4}$. Χρειάζονται χιλιάδες όροι για να αποκτήσεις λίγα δεκαδικά ψηφία ακριβείας για το $π$.