Λύση Συστήματος Εξισώσεων με το Λήμμα Titu

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z που ικανοποιούν τις σχέσεις:

$x + y^2 + z^3 = \dfrac{13}{6} \quad \text{(1)}$

$9x^2 + 16y^4 + 144z^6 = 26 \quad \text{(2)}$

Να βρείτε την τιμή των x,y,z.

Λύση

Εφαρμόζοντας το λήμμα ανισότητας του Titu (γνωστή και ως Engel) στην εξίσωση (2): $$\frac{x^2}{\frac{1}{9}} + \frac{y^4}{\frac{1}{16}} + \frac{z^6}{\frac{1}{144}} \ge \frac{(x + y^2 + z^3)^2}{\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{144}} = \frac{\left(\frac{13}{6}\right)^2}{\frac{16+9+1}{144}} = \frac{\frac{169}{36}}{\frac{26}{144}} = 26$$ Η μοναδική περίπτωση όπου επιτυγχάνεται η ισότητα, προσδιορίζοντας τις λύσεις (x,y,z), είναι όταν: $$9x = 16y^2 = 144z^3 \implies x + \frac{9}{16}x + \frac{9}{144}x = \frac{13}{6}$$ $$\implies x = \frac{4}{3}, \quad y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad z = \sqrt[3]{\frac{1}{12}}$$