Είναι το π ίσο με 0; Το Μαθηματικό Λάθος που μας Διδάσκει

Τα μαθηματικά είναι αυστηρά, ακριβή και αξιόπιστα. Όμως αυτό ισχύει μόνο όταν χρησιμοποιούμε σωστά τα θεωρήματα. Στο σημερινό άρθρο θα δούμε ένα απλό αλλά εντυπωσιακό παράδειγμα: ένα ολοκλήρωμα που φαίνεται να οδηγεί σε δύο εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα. 

Με τη μία μέθοδο παίρνουμε 

$I = 0$, και με την άλλη $I = \frac{\pi}{2}$.

Κάποιο λάθος έγινε. Αλλά πού; Η απάντηση θα σας μείνει αξέχαστη.

---

🔢 Το Παράδειγμα

Ορίζουμε το ολοκλήρωμα:

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}dx$$

Αυτό είναι γνωστό και η τιμή του είναι:

$$I=\frac{\pi }{\mathrm{2}}$$

Αλλά κάποιος υπολογίζει το ίδιο ολοκλήρωμα με δύο αλλαγές μεταβλητής — και καταλήγει σε δύο διαφορετικά αποτελέσματα!

---

📉 Μέθοδος 1 — Αλλαγή: $x = \frac{1}{t}$

Με αυτή την αντικατάσταση:

• Όρια: $x = 0 \Rightarrow t = \infty$, $x = \infty \Rightarrow t = 0$
  

• Παράγωγος: $dx = -\frac{1}{t^2} \, dt$
  

Αντικαθιστούμε:

$$I = \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \int_{\infty}^{0} \frac{1}{1 + \frac{1}{t^2}} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{t^2}} \cdot \frac{1}{t^2} dt$$$$= \int_0^{\infty} \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{t^2}} \cdot \frac{1}{t^2} dt = \int_0^{\infty} \frac{t^2}{t^2 + 1} \cdot \frac{1}{t^2} dt = \int_0^{\infty} \frac{1}{t^2 + 1} dt = I$$

Όμως λόγω του αρνητικού προσήμου που προκύπτει σωστά αν προσέξουμε την αλλαγή των ορίων:

$$I = -I \Rightarrow 2I = 0 \Rightarrow I = 0$$

😲 Άρα $\pi = 0$; Μα είναι δυνατόν;

---

📈 Μέθοδος 2 — Αλλαγή: $x = \tan(t)$

Όταν $x = \tan(t)$, τότε:

• $x = 0 \Rightarrow t = 0$
  

• $x \to \infty \Rightarrow t \to \frac{\pi}{2}$

• $dx = \sec^2(t) \, dt$
  

Τότε:

$$I = \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \tan^2(t)} \cdot \sec^2(t) \, dt$$

Αλλά $1 + \tan^2(t) = \sec^2(t)$, άρα:

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}$$

Το σωστό αποτέλεσμα.

---

❗ Πού είναι το Λάθος;

Το λάθος στην πρώτη μέθοδο είναι ότι η αλλαγή μεταβλητής $x = \frac{1}{t}$ δεν πληροί τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή του θεωρήματος μεταβολής μεταβλητής σε ορισμένα ολοκληρώματα.

Η συνάρτηση $x = \frac{1}{t}$ δεν είναι συνεχής στα άκρα του διαστήματος και δεν ορίζεται σε όλο το $[0, \infty)$. Στην ουσία, προσπαθούμε να αλλάξουμε όρια που περιλαμβάνουν άπειρα και σημεία ασυνέχειας — κάτι που παραβιάζει τις υποθέσεις του θεωρήματος.

---

✅ Συμπέρασμα

Όχι, το $\pi$ δεν είναι μηδέν — φυσικά! Αλλά το παράδειγμα μας διδάσκει κάτι πολύ πιο σημαντικό:

Μην εφαρμόζεις ποτέ ένα θεώρημα χωρίς να ελέγχεις πρώτα αν ισχύουν οι υποθέσεις του.

Αυτό το «λάθος» είναι από τα καλύτερα εκπαιδευτικά παραδείγματα στην Ανάλυση — ιδανικό για τάξεις, φροντιστήρια, και μαθητές που λατρεύουν να εμβαθύνουν!