Γκάμπριελ Κράμερ (1704–1752): Ο Μαθηματικός Πίσω από τον Κανόνα του Κράμερ

Σαν Σήμερα: Η Γέννηση του Γκάμπριελ Κράμερ και ο Διάσημος Κανόνας του

Σαν σήμερα, 31 Ιουλίου 1704, γεννήθηκε στη Γενεύη ο Γκάμπριελ Κράμερ (Gabriel Cramer, 31 Ιουλίου 1704 – 4 Ιανουαρίου 1752), ένας από τους σημαντικότερους Ελβετούς μαθηματικούς του 18ου αιώνα. Από μικρή ηλικία έδειξε εξαιρετική κλίση στα μαθηματικά· σε ηλικία μόλις 18 ετών απέκτησε το διδακτορικό του και στα 20 του έγινε συμπρόεδρος μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Γενεύης.

Το 1728 ασχολήθηκε με το διάσημο Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης, δίνοντας μία λύση που πλησίαζε την έννοια της αναμενόμενης χρησιμότητας, η οποία διατυπώθηκε επισήμως από τον Ντάνιελ Μπερνούλι δέκα χρόνια αργότερα.

Παράλληλα, ασχολήθηκε με τη μελέτη της κίνησης των πλανητών, του σφαιροειδούς σχήματος της Γης και την επεξεργασία των κυβικών καμπυλών που είχαν παρουσιαστεί από τον Νεύτωνα.

Το σπουδαιότερο έργο του δημοσιεύτηκε το 1750, με τίτλο «Εισαγωγή στην ανάλυση των αλγεβρικών γραμμών» (Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques). Εκεί απέδειξε πρώτος ότι μια καμπύλη βαθμού \( n \) καθορίζεται πλήρως από \( \frac{n(n + 3)}{2} \) σημεία σε γενική θέση.

Ο Κανόνας του Κράμερ

Ο Γκάμπριελ Κράμερ έμεινε στην ιστορία για τον περίφημο Κανόνα του Κράμερ (Cramer’s Rule), έναν κομψό τρόπο επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη χρήση οριζουσών (determinants).

Ένα σύστημα \( n \) γραμμικών εξισώσεων με \( n \) αγνώστους γράφεται ως:

\[ A \cdot X = B \]

Ο Κανόνας του Κράμερ δηλώνει ότι η λύση κάθε αγνώστου \( x_i \) δίνεται από τον τύπο:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]

Όπου \( \det(A) \) είναι η ορίζουσα του πίνακα συντελεστών και \( \det(A_i) \) η ορίζουσα που προκύπτει αντικαθιστώντας την i-στή στήλη του \( A \) με το διάνυσμα \( B \).

Παράδειγμα Εφαρμογής

Έστω το σύστημα:

\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \]

Ο πίνακας συντελεστών είναι:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \]

Υπολογίζουμε την ορίζουσα:

\[ \det(A) = (1)(-1) - (2)(3) = -1 - 6 = -7 \]

Αντικαθιστούμε τη στήλη του \( x \) με το διάνυσμα των σταθερών όρων για να βρούμε \( x \):

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \quad \det(A_x) = (5)(-1) - (2)(4) = -5 - 8 = -13 \]

Αντικαθιστούμε τη στήλη του \( y \) για να βρούμε \( y \):

\[ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \det(A_y) = (1)(4) - (5)(3) = 4 - 15 = -11 \]

Άρα, με τον Κανόνα του Κράμερ:

\[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}\] \[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7} \]